Löpning • Övrigt • 23 inlägg • 2381 visningar •

joggingmatematik

Samuel Edén

1965 • Segeltorp

•

13 maj 2010 - 23:36

Gilla

Som många vet så tjänar man ungefär 2*pi=6,3 meter runt en 400m bana om man springer på bana nr n-1 jämfört med bana nr n (räknat på banbredd 1m). Detta är en vinst som inte är att förakta!
När jag sprang en milrunda idag funderade jag på hur mycket man tjänar på att springa med långa steg i stället för korta steg över en kulle. Varje steg kan man se som en korda där kullen utgör en cirkelsektor och cirkeln står i vertikalplanet. Det var för svårt att räkna ut detta under löpningen, men med hjälp av ett excelark kom jag fram till lite slutsatser som bäst illustreras med ett exempel: Vi tänker oss en 128 meter lång kulle (räknat som en cirkelsektor) med en lutning på ca 333 promille (alltså först upp och sedan ner såsom joggaren upplever den). Löpning med 1,2 m steglängd ger då en vinst i sträcka på måttliga 0,8mm jämfört med kullens cirkelsektor. Ökar vi steglängden till 2,5m får vi en vinst på 3,2mm. En hypotetisk steglängd på 10m ger en vinst på 52mm. Ett jättekliv på 128 m däremot gör att man slipper hela kullen och tjänar då hela 47m !
Summa summarum, det finns inte så mycket till genvägar på det här planet...

< < < 1 2 > > >

Anna-Karin Edén

1979 • Stockholm

•

13 maj 2010 kl 23:59

Gilla

Det är MIN bror som har skrivit det där!!! Vilken smart storebror jag har!!

Bruce B.

1962 • Söråker

•

14 maj 2010 kl 10:31

Gilla

Man hinner tänka på mycket under 25 varv runt en oval bana.

Sam Johansson

1968 • Tyresö

•

14 maj 2010 kl 12:27

Gilla

Betänk även att kroppens masscentrum rör sig längs en kastparabel i luften. Dvs ju längre steglängd desto högre upp i kastparabeln hamnar masscentrum, en längre väg.

Oldboy

1952 • Danderyd

•

14 maj 2010 kl 12:33

Gilla

Det har länge stört mig att man ödslar energi på ingenting när man springer på plan mark. Man övervinner luftmotståndet säger någon. Men med lagom mycket medvind har man inget luftmotstånd - visserligen går det då lite lättare, eller lite fortare, men skillnaden är inte så värst stor. Den mesta energin går alltså åt som inre förluster för att röra benen.
För varje steg vi tar när vi springer så kastar vi iväg kroppen i en kastparabel där den större delen av kraften går åt till att höja oss för att vi inte ska sjunka ner för varje steg och sluta som en våt fläck. Karakteristiskt för kastparabeln är ju att den blir brantare ju längre tid föremålet är i luften, exv under 1 s ger tyngdaccelerationen en medelfart av 5 m/s (start från noll, högsta punkten där den vertikala farten vänder från uppåt till nedåt). Under den andra sekunden är medelfarten 15m/s, alltså total medelfart under 2s är 10 m/s.
Slutsats: ju kortare tid vi är i luften, desto flackare blir parabeln och desto mindre del av kraften behövs för att hålla oss uppe. Tänker jag fel? Har bara räknat i huvudet.
Som en följd har vi därför anledning att hålla en hög stegfrekvens för att spilla mindre del av kraften på att hålla oss kvar ovanför jordytan. Men det finns fysiologiska skäl till att vi inte kan ta hur snabba små steg som helst, dessutom kostar det energi att vända benet från rörelse framåt till rörelse bakåt och tvärtom. Det finns folk som har räknat på det här men det är lätt att "gå vilse", fysiologer brukar vara klena på fysik och omvänt. Har någon här på forumet sett någon bok eller artikel där i alla fall mekanikdelen av beräkningarna genomförs ordentligt?

Anders Carbonnier

1983 • Stockholm

•

14 maj 2010 kl 13:05

Gilla

Samtidigt som man springer med långa steg blir det svårare att springa med framfotsisättning och det är med långa steg mer naturligt att sätta i hälen först. När man springer med hälisättning bromsas varje steg något och man belastar vrister, knän och höfter mer. Alltså får man en sämre löpekonomi vid långa steg med hälisättning och man förlorar mer tid och energi på det viset.

Sam Johansson

1968 • Tyresö

•

14 maj 2010 kl 15:54

Gilla

Svar: Oldboy
Som fysiker kan jag räkna på detta, kan återkomma lite senare. Jag är tämligen säker på att det stora arbetet är att höja kroppens masscentrum för varje steg, efter att sjunkit i kastparabeln. Men kroppens senor är mycket bra på att att lagra energi, det är svårt att uppskatta och detta skiljer såklart mycket mellan individer. Ett enkelt test är att på löpbandet hålla uppe kroppen med armarna, det blir extremt mycket lättare att springa. Så själva accelerationsarbetet av benen är antagligen mindre. Jag tror också att muskelsenorna är bra att spara energin i just denna rörelse. Här ligger det säkert mycket teknik, kan man låsa musklerna i slutet av rörelsen så att senorna sträcks lagras energin bättre, fjädrar sen tillbaks. Givetvis förekommer hysteresförluster. Här kommer säkert mycket av effektiviteten av framfotsisättning, hälsenan är fenomenal att lägra energi. Med tanke på detta så är stretching säkerligen negativt med hänseende på spänst och energieffektivitet.

Sverker

1959 • Vitaby

•

14 maj 2010 kl 16:00

Gilla

"Vart tar löparens energi vägen?

En medeldistanslöpare måste främst lita till energi som frigörs genom förbränning med syre. Om man springer med konstant fart, säg 6 m/s, så är rörelseenergin för kroppens tyngdpunkt ungefär konstant. Springer man på en horisontell bana ändras inte heller lägesenergin. Likväl krävs det en avsevärd effektutveckling, kanske 350 W "nyttig effekt", för att genomföra loppet. Vart tar energin vägen?

Vi uppskattar först arbetet mot luftmotståndet. Den bromsande kraften approximeras med

F=0,5CA(rå)v-kvadrat

Låt luftens densitet vara rå=1,3 kg/kubikmeter, löparens tvärsnittsarea A=0,6 kvadratmeter, författarn C=0,5 och farten v=6 m/s. Man får F=7 N. Det kan tyckas vara en helt försumbar bromskraft - mindre än vad som motsvarar tyngden av ett kilogram. Men effekten som kan skrivas P=Fv är ändå så stor som 6*7 W=42 W.

En annan källa till energiförluster för löparen är att kroppsdelar måste accelereras, gång på gång. Benen och armarna förs ju fram och tillbaka. Antag att man på 1 sekund tar 3,5 löpsteg. När foten berör löparbanan har den ingen fart relativt marken. Skosulan glider inte mot banan. Under löpsteget måste sedan den fria foten föras framåt snabbare än kroppens medelfart. Även andra kroppsdelar accelereras. Antag att i genomsnitt 5 kg kroppsdelar accelereras från vila till 5 m/s, och att detta upprepas 3,5 gånger per sekund. Ur uttrycket 3,5mv-kvadrat/2 räknar vi ut att man måste tillföra energin 219 J. Effektbehovet är alltså ca 200 W. Det skulle vara mycket komplicerat att föra en noggrann beräkning av effektåtgången för att röra benen och armarna vid löpning. Vår beräkning visar ändå att en avsevärd del av löparens frigjorda energi går åt till sådana rörelser ett inte helt oväntat resultat eftersom energin "måste ta vägen någonstans".

Till slut beräknar vi den energi som går åt för att, under varje löpsteg, låta kroppens tyngdpunkt röra sig upp i en kastparabel. Vi antar (något felaktigt) att inget av den energin kan återvinnas genom elasticitet i kroppens leder och muskler. Med 3,5 löpsteg per sekund, en höjning av tyngdpunkten med 5 cm för varje löpsteg (ett typiskt värde) och en kroppsvikt på 70 kg, blir effektbehovet 3,5*0,05*70*9,8 W=120W. Det är uppenbart att kroppens tyngdpunkt rör sig i en mycket flack bana. Man får inte låta lura sig av bilder som visar hur högt löparens fötter är över banan under löpsteget eftersom benen då är böjda. "

Göran Grimvall "Sportens fysik" ISBN 91-7958-007-6 s. 64

Henry Kallioniemi

1943 • Täby

•

14 maj 2010 kl 17:48

Gilla

Nu har detta blivit mer fysik än matematik. Dags att återgå till rubrikens tema.

Att ben och armar förs fram och tillbaka relativt kroppen innebär inte att de någon gång förs tillbaka relativt marken man springer på. Jämför med en rullande rörelse.
På ett hjul som rullar på marken är det ingen del som rör sig bakåt. En punkt på hjulets rand beskriver en så kallad cykloid. Om armar och fötter rör sig i cirklar relativt kroppen behåller de sin rörelseenergi.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid

Karin L

1981 • Linköping

#10

•

14 maj 2010 kl 17:56

Gilla

You lost me at "pi"... :-)

Tror att ni har för mycket fritid...

Oldboy

1952 • Danderyd

#11

•

14 maj 2010 kl 21:46

Gilla

Karin, vi hinner tänka så mycket medan vi springer ;-)

Tack Sverker och Sam och Henry för bidragen!

Dock, Henry, fötterna kan beskriva en cykloid men knappast lårens tyngdpunkt. Tror att Grimvalls beräkning kommer hyfsat nära sanningen, utom de 20-30% energi man kan få tillbaka från senornas elastiska spänning (om jag minns rätt).

Walker67

1947 • Växjö

#12

•

14 maj 2010 kl 23:24

Gilla

Jag tolkar Samuel Edéns uträkning att man inte tjänar något på att behålla steglängden uppför en kulle - att korta steglängden ger snarare enegivinst.

En sak jag tänkte på ikväll när jag såg Asafa Powell på 100 m från Doha var att han inte behöver tänka på att springa ekonomiskt. Hans steg låg långt framför kroppens lodlinje, men det spelade ingen roll, han bara brassade på och vann loppet överlägset. Jag är dock inte matematisk kunnig, så att jag med en formel kan visa hans energiåtgång på den 100 m. (fast då måste jag väl har uppgifter på steglängd, frekvens,vikt etc)

Karin Axelsson

1985 • Göteborg

#13

•

15 maj 2010 kl 08:24

Gilla

Jag tror den mänskliga rörelseapparaten är alldeles för komplex för att beskriva med enkla ekvationer.
Ungefär som om att beskriva flödet genom en stypfläns utan att ta hänsyn till den virvelbildningen som sker......

Intressanta inlägg dock, känns som en perfekt sista uppgift till ett nationellt prov i matte! :)

Snabb

1979 • Malmö

#14

•

15 maj 2010 kl 08:48

Gilla

När jag gick i skolan så fick vi springa upp för en trappa och beräkna vår effekt mha tid, vikt och höjdskillnad.

Karin Axelsson

1985 • Göteborg

#15

•

15 maj 2010 kl 09:06

Gilla

Den övningen fick vi ockå göra. dock är det ju väldigt förenklad. Med den modellen skulle det inte gå åt någon energi alls för att röra sej i planet och det gör det ju....

Tove Molin

1967 • göteborg

#16

•

15 maj 2010 kl 10:33

Gilla

Fantastiskt vilken nivå ni tänker på när ni springer! Själv har jag svårt med plus och minus efter ett par timmars löpning.... för att inte tala om krocken mellan decimala system och sekunder och minuter....
;-)

Sverker

1959 • Vitaby

#17

•

15 maj 2010 kl 11:17 Redigerad 15 maj 2010 kl 11:25

Gilla

Jo, det blir komplicerat att beskriva den mänskliga rörelseapparaten, men man kommer väldigt långt med skattningar och antaganden.

Jag har stort förtroende för Grimvall och hans slutsatser. I hans resonemang finns det några riktigt intressanta slutsatser och speciellt intressant är att han delar in energiåtgången i tre delar: Luftmotstånd, kroppens egenrörelse och den vertikala rörelsen (hoppandet). Hans beräkningar utgår från en medeldistanslöpare och där konstaterar han att de tre energiförbrukningdelarna är fördelade 42, 200 och 120 W där alltså den största är kroppsdelarnas egenacceleration.

Fördelningen hos en långdistanslöpare är förstås annorlunda likväl som för en sprinter men jag kan konstatera att jag ska ta kortare steg, pendla mindre med armarna och tänka på att horisonten ska guppa så lite som möjligt om jag ska springa energisnålt. Tröjan får gärna vara luftig om jag trivs med det.

Sverker

1959 • Vitaby

#18

•

15 maj 2010 kl 11:33

Gilla

...och förresten Samuel: http://www.nyteknik.se/popular_teknik/miniproblemet/article591568.ece

Fredrik Johansson

1981 • Lund

#19

•

15 maj 2010 kl 11:52

Gilla

Nu har inte jag läst alla inlägg noggrant och är inte bekant med Grimvalls beräkningar. Jag ställer mig lite tvekande till den tolkning som görs av flera att energiförbrukningens olika delar visar på att man borde ta kortare steg än pendla mindre med armarna.

Det verkar ju som om man springer mer energisnålt ju saktare man springer. Då behöver ju inte kroppsdelarna acceleras så mycket. Man behöver ju tänka vilken löpteknik som är mest optimal (ur energisynpunkt) för en given hastighet.

Med fler steg kommer ju antalet repetitioner av armpendling och benpendling och antalet "hopp" att öka. Även om varje steg på det viset förbrukar mindre energi så är det inte självklart att den utvecklade effekten (energi per tidsenhet) totalt sett blir mindre (vid konstant hastighet). Det är väl här matematiken inte kan nå ända fram. Jag antar att det finns en rad konstanter och andra fysikaliska storheter som enbart genom empiriska experiment kan fastställas. Enbart genom att känna till dem kan man avgöra vilken som är den optimala stegfrekvensen för minsta möjliga effekt. Det är en avvägning där vi inte på deduktiv väg kan avgöra vad som är optimalt. Det är ju slående att steglängden är ganska avgörande för att öka farten. Stegfrekvensen ökar man inte (i större utsträckning) som långdistanslöpare över en viss nivå.

Vet inte om jag säger emot någon eller tillför något till den matematiska diskussionen.

Anders Ringman

1965 • Borås

#20

•

15 maj 2010 kl 13:35

Gilla

Det här är banne mig en av de bästa trådarna på Jogg.se, om inte den allra bästa. Underbart kul att läsa faktiskt.

Skall se om jag själv kan damma av lite matematikkunskaper och klura ut något kul.

Tråden bevisar ju i alla fall en sak - Löpning är en vetenskap.

< < < 1 2 > > >

Endast registrerade medlemmar kan posta inlägg till forumet. Registrera dig här eller logga in ovan.